四点共面系数和为1怎么证明？

　　要证明四点共面系数和为1，我们先假设四个点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3), D(x4, y4, z4)在同一个平面上，则它们满足以下线性方程组：x1*a + y1*b + z1*c + d = 0x2*a + y2*b + z2*c + d = 0x3*a + y3*b + z3*c + d = 0x4*a + y4*b + z4*c + d = 0其中a, b, c, d为系数，我们需要证明a + b + c = 1。通过行列式的性质，可以将上述线性方程组表示成矩阵形式为：A * X = 0其中A为一个4x4矩阵，X为一个4x1矩阵（[a, b, c, d]T）。根据行列式的性质，行列式det(A) = 0。即det(A) = (a * (yz3 - yz4) - b * (xz3 - xz4) + c * (xy3 - xy4)) * x1 - (a * (yz2 - yz4) - b * (xz2 - xz4) + c * (xy2 - xy4)) * x2 + (a * (yz2 - yz3) - b * (xz2 - xz3) + c * (xy2 - xy3)) * x3 - (a * (yz1 - yz3) - b * (xz1 - xz3) + c * (xy1 - xy3)) * x4。要使det(A) = 0，上述表达式中的每一项都必须为0。比较系数项得到以下线性方程组：(a * (yz3 - yz4) - b * (xz3 - xz4) + c * (xy3 - xy4)) * x1 - (a * (yz2 - yz4) - b * (xz2 - xz4) + c * (xy2 - xy4)) * x2 + (a * (yz2 - yz3) - b * (xz2 - xz3) + c * (xy2 - xy3)) * x3 - (a * (yz1 - yz3) - b * (xz1 - xz3) + c * (xy1 - xy3)) * x4 = 0由于上述表达式中的每一项都必须为0，我们可以得到：a * (yz3 - yz4) - b * (xz3 - xz4) + c * (xy3 - xy4) = 0a * (yz2 - yz4) - b * (xz2 - xz4) + c * (xy2 - xy4) = 0a * (yz2 - yz3) - b * (xz2 - xz3) + c * (xy2 - xy3) = 0a * (yz1 - yz3) - b * (xz1 - xz3) + c * (xy1 - xy3) = 0通过求解上述线性方程组，我们可以得到a + b + c = 1。因此，四点共面系数的和为1。

　　为什么三个向量的系数和为1四个点就共面？

　　这是空间向量中四点共面的推论：若AP=mAB+nAC显然ABCP四点共面，再引入点O（O是空间中任意一点）上式变为OP-OA=m(OB-OA)+n(OC-OA),移项得OP=(1-m-n)OA+mOB+nOC即右边三个系数之和为1.

　　

　　两个向量可以确定一个平面（不管这两个向量相交或者平行，几何学里已经证明了），如果第三个向量可以用这两个向量线性表示，那么这三个向量在同一个平面内，也就是说，在前两个向量所确定的平面内，或者这么说

　　

　　，三个向量中的任何一个向量，都可以用其余两个线性表示，那么就是共面的。

　　

　　充分不必要条件。如果有三点共线，则第四点一定与这三点共面，因为线和直线外一点可以确定一个平面，如果第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。而有四点共面，不一定就其中三点共线，比如四边形的四个顶点共面，但这四个顶点中没有三个是共线的。 “三点共线”可以推出“四点共面”，但“四点共面”不能推出“三点共线”。

　　因此是充分不必要条件任取3个点，如果这三点共线，那么四点共面；如果这三点不共线，那么它们确定一个平面，考虑第四点到这个平面的距离。

　　方法二A、B、C、D四点共面的充要条件为向量AB、AC、AD的混合积（AB,AC,AD）＝0。方法三A、B、C、D四点不共面的充要条件为向量AB、AC、AD线性无关。